Calcula vértice, eje de simetría, foco, directriz, discriminante y raíces de una parábola y = ax² + bx + c y dibuja su gráfica al instante.
Coeficientes
Ejemplos
Gráfica
Propiedades
Fórmulas utilizadas
Fórmula cuadrática
Las raíces de ax² + bx + c = 0 se obtienen con la fórmula cuadrática:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
La expresión b² − 4ac bajo la raíz cuadrada es el discriminante. Su signo determina cuántos cortes reales con el eje X tiene la parábola.
Forma canónica (forma vértice)
Cualquier parábola y = ax² + bx + c puede reescribirse en forma canónica como y = a(x − h)² + k, donde:
h = −b / (2a) y k = c − b² / (4a)
El punto (h; k) es el vértice — mínimo si a > 0 (abre hacia arriba) o máximo si a < 0 (abre hacia abajo). El eje de simetría es la recta vertical x = h.
Significado del discriminante
D = b² − 4ac
D > 0 — dos raíces reales distintas; la parábola corta el eje X en dos puntos.
D = 0 — una raíz real doble; la parábola toca el eje X en el vértice.
D < 0 — no hay raíces reales; la parábola queda completamente por encima (si a > 0) o por debajo (si a < 0) del eje X.
Foco y directriz
Para y = ax² + bx + c con vértice (h; k), el foco está en (h; k + 1/(4a)) y la directriz es la recta y = k − 1/(4a).
Cualquier punto de la parábola equidista del foco y de la directriz — esa es la definición geométrica de la curva.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una parábola?
Una parábola es la curva que describe una función cuadrática y = ax² + bx + c con a ≠ 0. Es simétrica respecto a una recta vertical llamada eje de simetría y tiene un único punto extremo, el vértice. Geométricamente, está formada por los puntos que equidistan de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz).
¿Cómo encontrar el vértice de una parábola?
Usa h = −b / (2a) para la coordenada x y sustituye en la ecuación para obtener k. De forma equivalente, k = c − b² / (4a). El vértice (h; k) es el punto de inflexión — el punto más bajo si la parábola abre hacia arriba y el más alto si abre hacia abajo.
¿Qué es el discriminante y qué indica?
El discriminante D = b² − 4ac cuenta las raíces reales de la ecuación cuadrática sin necesidad de resolverla. Un D positivo indica dos cortes con el eje X, D cero indica un toque en el vértice y D negativo indica que la parábola no cruza el eje X. Es la forma más rápida de saber si una ecuación cuadrática tiene soluciones reales.
¿Cuándo la parábola abre hacia arriba o hacia abajo?
Depende del signo del coeficiente a. Si a > 0 la parábola abre hacia arriba y el vértice es el mínimo de la función. Si a < 0 abre hacia abajo y el vértice es el máximo. Cuanto mayor es el valor absoluto de a, más estrecha es la curva; cuanto menor, más abierta.
¿Cómo interpretar el foco y la directriz?
El foco es un punto fijo dentro de la parábola y la directriz es una recta perpendicular al eje de simetría. Por definición, cada punto de la parábola está a la misma distancia del foco que de la directriz. La distancia del vértice al foco (y a la directriz) es 1/(4|a|), por lo que parábolas con |a| grande tienen foco muy cercano al vértice.
¿Por qué a debe ser distinto de cero?
Si a = 0 el término ax² desaparece y la ecuación se reduce a y = bx + c, que es una recta, no una parábola. Una parábola necesita el término cuadrático, por lo que a ≠ 0 es obligatorio. La calculadora muestra un aviso si introduces a = 0.
¿Cómo se ajusta automáticamente la gráfica?
La vista se centra en el vértice y se amplía para incluir las raíces (si existen) y el corte con el eje Y, con un margen en cada lado. Así los puntos clave siempre quedan visibles para cualquier combinación de a, b, c sin necesidad de ajustar el zoom manualmente.
Calculadora de parábola para y = ax² + bx + c: introduce los coeficientes a, b y c y obtén al instante el vértice (h; k), el eje de simetría x = h, la concavidad (hacia arriba si a > 0, hacia abajo si a < 0), el corte con el eje Y, el discriminante D = b² − 4ac, las raíces por la fórmula cuadrática y la gráfica con todos los puntos clave marcados. También muestra el foco en (h; k + 1/(4a)) y la directriz y = k − 1/(4a). Ejemplo 1: para y = x² − 4 el vértice es (0; −4), D = 16, raíces x₁ = −2 y x₂ = 2. Ejemplo 2: para y = 2x² + 3x − 2 el discriminante D = 25, raíces x = −2 y x = 0,5; el vértice está en (−0,75; −3,125). La gráfica se ajusta automáticamente a vértice y raíces, ideal para secundaria y bachillerato.