Calculadora de arcotangente (arctan, atan)

La arcotangente (arctan, atan, tan⁻¹) es la función inversa de la tangente. Como la tangente es periódica, su inversa se convierte en una función unívoca restringiendo la salida a la rama principal: (−π/2, π/2) rad, equivalente a (−90°, 90°). Para cualquier x real, arctan(x) devuelve el único ángulo θ en ese intervalo abierto tal que tan(θ) = x. Los extremos ±90° se aproximan asintóticamente pero nunca se alcanzan, porque tan(±90°) no está definida.

La arcotangente de un solo argumento solo indica un ángulo módulo 180°, por lo que no distingue el cuadrante. atan2(y, x) toma ambas coordenadas y devuelve un ángulo en (−π, π] que identifica el cuadrante completo del punto (x, y). Por ejemplo, arctan(1/1) y arctan(−1/−1) dan ambos 45°, pero atan2(1, 1) = 45° mientras que atan2(−1, −1) = −135°. Usa atan2 siempre que conviertas coordenadas cartesianas a polares.

arctan(x) devuelve el ángulo cuya tangente es igual a x. Si tan(θ) = x, entonces arctan(x) = θ (dentro del rango principal de −90° a 90°). Por ejemplo, arctan(1) = 45° porque tan(45°) = 1. La función también se escribe atan(x) o tan⁻¹(x) en las calculadoras. Está definida para todo número real, incluidos valores muy grandes o muy negativos.

La tangente asigna un ángulo a una razón (cateto opuesto ÷ cateto adyacente en un triángulo rectángulo). La arcotangente hace lo contrario: dada la razón, recupera el ángulo. tan toma un ángulo como entrada y puede devolver cualquier número real (tiene asíntotas verticales en ±90°, ±270°, etc.). arctan toma cualquier número real como entrada y siempre devuelve un ángulo estrictamente entre −90° y 90°. Son inversas en esa rama principal: arctan(tan(θ)) = θ solo cuando −90° < θ < 90°.

Como la tangente es periódica con periodo 180°, infinitos ángulos comparten la misma tangente (por ejemplo, tan(45°) = tan(225°) = 1). Para que la arcotangente sea una función (una salida por cada entrada), se restringe la salida a una única rama monótona de tan: la definida en (−90°, 90°). Esa rama cubre cada razón real exactamente una vez. Si necesitas todos los ángulos con una tangente dada, suma 180° × k para cualquier entero k al valor principal.

En un triángulo rectángulo con catetos a (opuesto) y b (adyacente), el ángulo agudo en la base es igual a arctan(a / b). Es la herramienta principal para hallar ángulos cuando se conocen dos lados. Ejemplo: un tejado con una elevación de 3 m sobre un tramo de 5 m tiene un ángulo de inclinación de arctan(3 / 5) ≈ 30,96°. En topografía, el ángulo de elevación hacia una torre de altura h a una distancia horizontal d es arctan(h / d). En robótica y gráficos por ordenador, arctan (a través de atan2) convierte posiciones (x, y) en ángulos de orientación.

Cuando x crece sin límite, arctan(x) se aproxima a 90° (π/2 rad) pero nunca lo alcanza. Por ejemplo, arctan(10) ≈ 84,2894°, arctan(100) ≈ 89,4271°, arctan(1000) ≈ 89,9427°. De forma simétrica, arctan(−x) = −arctan(x), por lo que arctan(−1000) ≈ −89,9427°. Los límites lim x→+∞ arctan(x) = π/2 y lim x→−∞ arctan(x) = −π/2 hacen que arctan sea una función acotada — útil para comprimir entradas no acotadas en un rango finito en el procesamiento de señales y las redes neuronales.

La calculadora utiliza Math.atan incorporada en JavaScript, que implementa coma flotante de doble precisión IEEE 754 (aproximadamente 15–17 dígitos decimales significativos). Los resultados se muestran con 8 decimales. Para fines de ingeniería o educativos esta precisión es más que suficiente. Para resultados simbólicos — por ejemplo, reconocer que arctan(1) = π/4 exactamente — la calculadora reconoce las fracciones comunes de π (π/6, π/4, π/3, etc.) dentro de una pequeña tolerancia y las etiqueta.