Calculadora de tangente (tan) y arcotangente

La tangente es una de las tres razones trigonométricas básicas, junto con el seno y el coseno. En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a dicho ángulo. En la circunferencia unitaria, equivale al cociente sen(θ)/cos(θ). Se denota como tan(θ) y su valor depende únicamente del ángulo, no del tamaño del triángulo. Por ejemplo, tan(45°) = 1, porque en un triángulo rectángulo isósceles los dos catetos miden lo mismo.

Son los tres valores exactos más utilizados en trigonometría. tan(30°) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,57735027. tan(45°) = 1 exactamente, porque en un triángulo 45-45-90 los dos catetos son iguales. tan(60°) = √3 ≈ 1,73205081. Los valores de 30° y 60° provienen de un triángulo 30-60-90, cuyos lados guardan la proporción 1 : √3 : 2. Estos valores conviene memorizarlos porque aparecen constantemente en problemas de geometría y física.

Porque tan(θ) = sen(θ) / cos(θ) y cos(90°) = 0, y la división por cero no está definida en los números reales. Cuando θ se aproxima a 90° por debajo, cos(θ) tiende a 0 mientras que sen(θ) se mantiene cerca de 1, de modo que el cociente crece sin límite (→ +∞). Al acercarse a 90° desde arriba, tiende a −∞. La gráfica de la tangente tiene una asíntota vertical en cada 90° + 180°·k. Esta calculadora devuelve «Indefinida» para dichas entradas.

Para ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°) se usan los valores exactos de la tabla. Para ángulos arbitrarios, se convierte el ángulo a radianes mediante rad = grados × π / 180 y se aplica tan(x) = sen(x)/cos(x). En la práctica los procesadores usan el algoritmo CORDIC o series de Taylor. Ejemplo: tan(25°) = tan(0,43633 rad) ≈ 0,46631. Si conoces los catetos de un triángulo rectángulo, basta con dividir el opuesto entre el adyacente.

Una vuelta completa equivale a 360° o a 2π radianes, por lo que 180° = π rad. Para convertir: radianes = grados × π / 180 y grados = radianes × 180 / π. Referencias rápidas: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π. Un radián ≈ 57,29578°. La mayoría de lenguajes de programación (JavaScript, Python, C) usan radianes en su función Math.tan, por lo que los grados deben convertirse antes.

Los radianes son la unidad natural en cálculo diferencial e integral y en física: las derivadas (sen x)' = cos x y (cos x)' = −sen x solo son válidas cuando x está en radianes. En trigonometría escolar y problemas geométricos cotidianos se usan más los grados. Las calculadoras científicas permiten elegir ambos modos; esta calculadora ofrece pestañas independientes para grados y radianes, y convierte automáticamente entre ambas al cambiar de pestaña.

La tangente relaciona ángulos con pendientes. Si una carretera sube 1 m por cada 10 m horizontales, su ángulo es arctan(1/10) ≈ 5,71°. Los topógrafos miden la tangente del ángulo de elevación para calcular alturas: un árbol situado a 20 m visto con un ángulo de 35° sobre el horizonte mide 20 × tan(35°) ≈ 14 m. También se usa en el campo de visión de cámaras, pendientes de rampas y tejados, y trayectorias de proyectiles. En gráficos y robótica, la función atan2(y, x) convierte coordenadas cartesianas en ángulos polares.

La tangente toma un ángulo y devuelve una razón; la arcotangente (arctan o tan⁻¹) toma una razón y devuelve un ángulo. Ejemplo: tan(45°) = 1, por tanto arctan(1) = 45°. Como la tangente tiene periodo 180°, la arcotangente se restringe al rango (−90°, 90°) para que sea una función propia. Para obtener un ángulo en otro cuadrante, se suma 180° cuando convenga, o se usa la función de dos argumentos atan2(y, x), que gestiona el signo de x e y de forma automática.