Tabla Completa de Integrales
Guía de referencia completa para integrales indefinidas - más de 100 fórmulas
Integrales Básicas
| Función f(x) | Integral ∫f(x)dx | Dominio |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx + C\) | Todos los números reales |
| \(x^n\) (donde \(n ≠ -1\)) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(x ≥ 0\) si \(n < 0\), de lo contrario todos los números reales |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle\frac{2x^{3/2}}{3} + C\) | \(x ≥ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(x > 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{x} + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^3}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{2x^2} + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(x^{1/2}\) | \(\displaystyle\frac{2x^{3/2}}{3} + C\) | \(x ≥ 0\) |
| \(x^{-1/2}\) | \(2x^{1/2} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^{1/3}\) | \(\displaystyle\frac{3x^{4/3}}{4} + C\) | Todos los números reales |
Funciones Exponenciales y Logarítmicas
| Función f(x) | Integral ∫f(x)dx | Dominio |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | Todos los números reales |
| \(a^x\) (donde \(a > 0, a ≠ 1\)) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\) | Todos los números reales |
| \(e^{ax}\) (donde \(a ≠ 0\)) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}}{a} + C\) | Todos los números reales |
| \(\ln x\) | \(x \ln x - x + C\) | \(x > 0\) |
| \(\log_a x\) (donde \(a > 0, a ≠ 1\)) | \(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\) | \(x > 0\) |
| \(xe^x\) | \((x-1)e^x + C\) | Todos los números reales |
| \(x^2e^x\) | \((x^2-2x+2)e^x + C\) | Todos los números reales |
| \(e^{ax}\sin(bx)\) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C\) | Todos los números reales |
| \(e^{ax}\cos(bx)\) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C\) | Todos los números reales |
| \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\) | \(\displaystyle\frac{(\ln x)^2}{2} + C\) | \(x > 0\) |
| \((\ln x)^n\) | \(x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{n-1} dx\) | \(x > 0\) |
| \(e^{-x^2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(x) + C\) | Todos los números reales |
Funciones Trigonométricas
| Función f(x) | Integral ∫f(x)dx | Dominio |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | Todos los números reales |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | Todos los números reales |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x| + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\cot x\) | \(\ln|\sin x| + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec x\) | \(\ln|\sec x + \tan x| + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc x\) | \(-\ln|\csc x + \cot x| + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec^2 x\) | \(\tan x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc^2 x\) | \(-\cot x + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec x \tan x\) | \(\sec x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc x \cot x\) | \(-\csc x + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sin^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\) | Todos los números reales |
| \(\cos^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\) | Todos los números reales |
| \(\sin x \cos x\) | \(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C\) | Todos los números reales |
| \(\sin^3 x\) | \(-\cos x + \displaystyle\frac{\cos^3 x}{3} + C\) | Todos los números reales |
| \(\cos^3 x\) | \(\sin x - \displaystyle\frac{\sin^3 x}{3} + C\) | Todos los números reales |
| \(\tan^2 x\) | \(\tan x - x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\sin(ax)\) | \(-\displaystyle\frac{\cos(ax)}{a} + C\) | Todos los números reales, \(a ≠ 0\) |
| \(\cos(ax)\) | \(\displaystyle\frac{\sin(ax)}{a} + C\) | Todos los números reales, \(a ≠ 0\) |
| \(\sin^n x\) | \(-\displaystyle\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x dx\) | Todos los números reales |
| \(\cos^n x\) | \(\displaystyle\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x dx\) | Todos los números reales |
Funciones Trigonométricas Inversas
| Función f(x) | Integral ∫f(x)dx | Dominio |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) | Todos los números reales |
| \(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\) | \(\text{arccot } x + C\) | Todos los números reales |
| \(\displaystyle\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) | \(\text{arcsec } |x| + C\) | \(|x| > 1\) |
| \(\arcsin x\) | \(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(\arccos x\) | \(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(\arctan x\) | \(x \arctan x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\) | Todos los números reales |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2+x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C\) | Todos los números reales, \(a ≠ 0\) |
Funciones Hiperbólicas
| Función f(x) | Integral ∫f(x)dx | Dominio |
|---|---|---|
| \(\sinh x\) | \(\cosh x + C\) | Todos los números reales |
| \(\cosh x\) | \(\sinh x + C\) | Todos los números reales |
| \(\tanh x\) | \(\ln(\cosh x) + C\) | Todos los números reales |
| \(\coth x\) | \(\ln|\sinh x| + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\text{sech}^2 x\) | \(\tanh x + C\) | Todos los números reales |
| \(\text{csch}^2 x\) | \(-\coth x + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\sinh^2 x\) | \(\displaystyle\frac{\sinh 2x}{4} - \frac{x}{2} + C\) | Todos los números reales |
| \(\cosh^2 x\) | \(\displaystyle\frac{\sinh 2x}{4} + \frac{x}{2} + C\) | Todos los números reales |
| \(\text{sech } x\) | \(\arctan(\sinh x) + C\) | Todos los números reales |
| \(\text{csch } x\) | \(\ln\left|\tanh\displaystyle\frac{x}{2}\right| + C\) | \(x ≠ 0\) |
Funciones Racionales
| Función f(x) | Integral ∫f(x)dx | Dominio |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{ax + b}\) | \(\displaystyle\frac{\ln|ax + b|}{a} + C\) | \(x ≠ -\frac{b}{a}, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(ax + b)^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{a(ax + b)} + C\) | \(x ≠ -\frac{b}{a}, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\) | Todos los números reales, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\) | \(x ≠ ±a, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\) | \(x ≠ ±a, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C\) | Todos los números reales |
| \(\displaystyle\frac{x}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln|x^2 - a^2| + C\) | \(x ≠ ±a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2a^2(x^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a} + C\) | Todos los números reales, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{x^2}{x^2 + a^2}\) | \(x - a\arctan\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | Todos los números reales, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x(x+a)}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\ln\left|\frac{x}{x+a}\right| + C\) | \(x ≠ 0, -a\) |
Funciones Radicales
| Función f(x) | Integral ∫f(x)dx | Dominio |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\) | Todos los números reales |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\sqrt{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\) | \(-a ≤ x ≤ a\) |
| \(\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\) | Todos los números reales |
| \(\sqrt{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C\) | \(|x| ≥ a\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\sqrt{x^2 + a^2} + C\) | Todos los números reales |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\sqrt{x^2 - a^2} + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(-\sqrt{a^2 - x^2} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\sqrt{ax + b}\) | \(\displaystyle\frac{2(ax + b)^{3/2}}{3a} + C\) | \(ax + b ≥ 0, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ax + b}}\) | \(\displaystyle\frac{2\sqrt{ax + b}}{a} + C\) | \(ax + b > 0, a ≠ 0\) |
| \(x\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{(x^2 + a^2)^{3/2}}{3} + C\) | Todos los números reales |
Productos con x
| Función f(x) | Integral ∫f(x)dx | Dominio |
|---|---|---|
| \(x\sin x\) | \(\sin x - x\cos x + C\) | Todos los números reales |
| \(x\cos x\) | \(\cos x + x\sin x + C\) | Todos los números reales |
| \(x^2\sin x\) | \((2 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C\) | Todos los números reales |
| \(x^2\cos x\) | \((x^2 - 2)\sin x + 2x\cos x + C\) | Todos los números reales |
| \(x \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^2 \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^n \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1} \ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\) | \(x > 0, n ≠ -1\) |
| \(x \arcsin x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \arcsin x}{2} + \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{x}{2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(x \arctan x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \arctan x}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan x}{2} + C\) | Todos los números reales |
| \(x \sinh x\) | \(x \cosh x - \sinh x + C\) | Todos los números reales |
| \(x \cosh x\) | \(x \sinh x - \cosh x + C\) | Todos los números reales |
| \(x^n e^{ax}\) | \(\displaystyle\frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1} e^{ax} dx\) | Todos los números reales, \(a ≠ 0\) |
| \(x^3 e^x\) | \((x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C\) | Todos los números reales |
| \(x\tan x\) | \(x\ln|\cos x| + \displaystyle\frac{x^2}{2} + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
Reglas Básicas de Integración
Linealidad:
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
Integración por partes:
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
Sustitución:
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), donde \(u = \varphi(x)\)
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), donde \(u = \varphi(x)\)
Funciones pares:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (si \(f(-x) = f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (si \(f(-x) = f(x)\))
Funciones impares:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (si \(f(-x) = -f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (si \(f(-x) = -f(x)\))
Teorema Fundamental del Cálculo:
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), donde \(F'(x) = f(x)\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), donde \(F'(x) = f(x)\)
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Interpretación Geométrica de la Integración
Referencia Completa de Integración Matemática
Esta tabla de integrales proporciona una guía de referencia completa para integrales indefinidas de funciones matemáticas comunes. La tabla organiza las fórmulas de integración por tipo de función, incluyendo polinomios básicos, funciones exponenciales y logarítmicas, funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y expresiones avanzadas que involucran radicales y funciones racionales.
Fórmula General de Integración:
∫ f(x)dx = F(x) + C
Donde F(x) es la antiderivada de f(x) y C es la constante de integración.
∫ f(x)dx = F(x) + C
Donde F(x) es la antiderivada de f(x) y C es la constante de integración.
Cada entrada en la tabla de referencia incluye la función original f(x), su integral correspondiente ∫f(x)dx y el dominio de validez. La tabla cubre reglas de integración fundamentales, aplicaciones de la regla de la potencia, identidades trigonométricas, integraciones logarítmicas y exponenciales, y técnicas avanzadas para expresiones radicales.
Categorías de Funciones Cubiertas
Funciones Básicas
Constantes, potencias xn, recíprocos 1/x, raíces cuadradas √x
Exponenciales y Logarítmicas
ex, ax, ln(x), loga(x), xex
Trigonométricas
sin(x), cos(x), tan(x), sec2(x), sin2(x), cos2(x)
Trigonométricas Inversas
1/√(1-x2), 1/(1+x2), arcsin(x), arctan(x)
Expresiones Avanzadas
√(a2-x2), 1/√(x2±a2), funciones racionales
Ejemplos de Uso de la Tabla de Referencia
- Buscando ∫x3dx = x4/4 + C para integración de polinomios
- Encontrando ∫e2xdx = e2x/2 + C para funciones exponenciales
- Consultando ∫sin(x)dx = -cos(x) + C para integración trigonométrica
- Verificando ∫1/√(1-x2)dx = arcsin(x) + C para funciones trigonométricas inversas
- Localizando ∫ln(x)dx = x ln(x) - x + C para funciones logarítmicas
- Encontrando ∫1/(x2+4)dx = (1/2)arctan(x/2) + C para expresiones racionales
- Buscando ∫√(9-x2)dx para fórmulas de integración de radicales
- Consultando ∫x·cos(x)dx = cos(x) + x·sin(x) + C para productos
- Verificando ∫sec2(x)dx = tan(x) + C para funciones secantes
- Encontrando ∫1/√(x2+1)dx = ln(x + √(x2+1)) + C para formas hiperbólicas
La referencia incluye restricciones de dominio para cada integral, reglas de integración como la linealidad y los métodos de sustitución, y una representación visual que muestra la integración como el área bajo una curva. La funcionalidad de búsqueda permite una consulta rápida de tipos de funciones específicos o expresiones matemáticas.