Tabla de Antiderivadas
Guía de referencia completa para integrales indefinidas
Antiderivadas Básicas
| Función \(f(x)\) | Antiderivada \(F(x)\) | Dominio |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (donde \(n \ne -1\)) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(\mathbb{R}\) (si \(n \geq 0\)), \(\mathbb{R}, x \neq 0\) (si \(n < 0\)) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(\mathbb{R}, x \neq 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C\) | \(x \geq 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(x > 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(a^x\) (donde \(a > 0, a \ne 1\)) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(x \ln x - x + C\) | \(x > 0\) |
| \(\log_a x\) | \(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\) | \(x > 0, a > 0, a \ne 1\) |
Función f(x)
\(k\) (constante)
Antiderivada F(x)
\(kx + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(x^n\) (donde \(n \ne -1\))
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\) (si \(n \geq 0\)), \(\mathbb{R}, x \ne 0\) (si \(n < 0\))
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x}\)
Antiderivada F(x)
\(\ln|x| + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}, x \ne 0\)
Función f(x)
\(\sqrt{x}\)
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C\)
Dominio
\(x \geq 0\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\)
Antiderivada F(x)
\(2\sqrt{x} + C\)
Dominio
\(x > 0\)
Función f(x)
\(e^x\)
Antiderivada F(x)
\(e^x + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(a^x\) (donde \(a > 0, a \ne 1\))
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\ln x\)
Antiderivada F(x)
\(x \ln x - x + C\)
Dominio
\(x > 0\)
Función f(x)
\(\log_a x\)
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\)
Dominio
\(x > 0, a > 0, a \ne 1\)
Funciones Trigonométricas
| Función \(f(x)\) | Antiderivada \(F(x)\) | Dominio |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x| + C\) | \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\cot x\) | \(\ln|\sin x| + C\) | \(x \ne \pi n\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\) | \(\tan x + C\) | \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\) | \(-\cot x + C\) | \(x \ne \pi n\) |
| \(\sin^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x \cos x\) | \(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C = -\frac{\cos^2 x}{2} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
Función f(x)
\(\sin x\)
Antiderivada F(x)
\(-\cos x + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\cos x\)
Antiderivada F(x)
\(\sin x + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\tan x\)
Antiderivada F(x)
\(-\ln|\cos x| + C\)
Dominio
\(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\)
Función f(x)
\(\cot x\)
Antiderivada F(x)
\(\ln|\sin x| + C\)
Dominio
\(x \ne \pi n\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\)
Antiderivada F(x)
\(\tan x + C\)
Dominio
\(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\)
Antiderivada F(x)
\(-\cot x + C\)
Dominio
\(x \ne \pi n\)
Función f(x)
\(\sin^2 x\)
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\cos^2 x\)
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\sin x \cos x\)
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Funciones Trigonométricas Inversas
| Función \(f(x)\) | Antiderivada \(F(x)\) | Dominio |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\) | \(\text{arccot } x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\arcsin x\) | \(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 \leq x \leq 1\) |
| \(\arccos x\) | \(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 \leq x \leq 1\) |
| \(\arctan x\) | \(x \arctan x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Antiderivada F(x)
\(\arcsin x + C\)
Dominio
\(-1 < x < 1\)
Función f(x)
\(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Antiderivada F(x)
\(\arccos x + C\)
Dominio
\(-1 < x < 1\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\)
Antiderivada F(x)
\(\arctan x + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\)
Antiderivada F(x)
\(\text{arccot } x + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\arcsin x\)
Antiderivada F(x)
\(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\)
Dominio
\(-1 \leq x \leq 1\)
Función f(x)
\(\arccos x\)
Antiderivada F(x)
\(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\)
Dominio
\(-1 \leq x \leq 1\)
Función f(x)
\(\arctan x\)
Antiderivada F(x)
\(x \arctan x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Antiderivadas Útiles
| Función \(f(x)\) | Antiderivada \(F(x)\) | Dominio |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\) | \(x \ne +a, x \ne -a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\) | \(x \ne +a, x \ne -a\) |
| \(\sqrt{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\) | \(-a \leq x \leq a\) |
| \(\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sqrt{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C\) | \(|x| \geq a\) |
| \(xe^x\) | \((x-1)e^x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\sin x\) | \(\sin x - x\cos x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\cos x\) | \(\cos x + x\sin x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\)
Antiderivada F(x)
\(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\)
Antiderivada F(x)
\(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\)
Dominio
\(|x| > a\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\)
Antiderivada F(x)
\(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\)
Dominio
\(|x| < a\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\)
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\)
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\)
Dominio
\(x \ne +a, x \ne -a\)
Función f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\)
Antiderivada F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\)
Dominio
\(x \ne +a, x \ne -a\)
Función f(x)
\(xe^x\)
Antiderivada F(x)
\((x-1)e^x + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(\sin x\)
Antiderivada F(x)
\(\sin x - x\cos x + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Función f(x)
\(x\cos x\)
Antiderivada F(x)
\(\cos x + x\sin x + C\)
Dominio
\(\mathbb{R}\)
Reglas Básicas de Integración
Linealidad:
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
Integración por partes:
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
Sustitución:
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), donde \(u = \varphi(x)\)
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), donde \(u = \varphi(x)\)
Funciones pares:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (si \(f(-x) = f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (si \(f(-x) = f(x)\))
Funciones impares:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (si \(f(-x) = -f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (si \(f(-x) = -f(x)\))
Notas Importantes
• \(C\) es una constante arbitraria de integración
• Todas las antiderivadas se determinan hasta una constante \(C\)
• Al evaluar integrales definidas, la constante \(C\) se cancela
• El dominio se refiere al dominio de la función integrando
• \(\mathbb{R}\) denota el conjunto de todos los números reales
Técnicas Útiles
Sustituciones trigonométricas:
• Para \(\sqrt{a^2 - x^2}\): \(x = a\sin t\)
• Para \(\sqrt{x^2 + a^2}\): \(x = a\tan t\)
• Para \(\sqrt{x^2 - a^2}\): \(x = a\sec t\)
• Para \(\sqrt{a^2 - x^2}\): \(x = a\sin t\)
• Para \(\sqrt{x^2 + a^2}\): \(x = a\tan t\)
• Para \(\sqrt{x^2 - a^2}\): \(x = a\sec t\)
Integración de funciones racionales:
Descomponer en fracciones parciales e integrar cada una por separado
Descomponer en fracciones parciales e integrar cada una por separado
Teorema Fundamental del Cálculo:
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), donde \(F'(x) = f(x)\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), donde \(F'(x) = f(x)\)
Sustitución de Weierstrass:
\(t = \tan\frac{x}{2}\), entonces \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(t = \tan\frac{x}{2}\), entonces \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
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Tabla de Antiderivadas - Guía de Referencia Completa
Esta completa tabla de antiderivadas sirve como una guía de referencia total para integrales indefinidas, presentando un sistema de búsqueda avanzado para localizar rápidamente funciones matemáticas específicas y sus antiderivadas. La tabla cubre operaciones fundamentales de cálculo donde puedes encontrar la antiderivada F(x) para cualquier función f(x) dada.
Fundamento Matemático
Una antiderivada de una función f(x) es una función F(x) cuya derivada es igual a la función original. La relación se expresa como:
F'(x) = f(x), por lo tanto ∫f(x)dx = F(x) + C
donde C representa la constante de integración.
Características de la Tabla
• Sistema de Búsqueda Inteligente: Escribe palabras clave como "seno", "logaritmo", "raíz cuadrada" para filtrar resultados al instante
• Diseño Adaptable a Móviles: Visualización optimizada en todos los dispositivos con diseños de tarjetas adaptativos
• Información de Dominio: Cada entrada incluye el dominio válido para la función
• Notación Matemática: Renderizado profesional de LaTeX para una visualización matemática precisa
• Secciones Categorizadas: Organizado por tipos de función para una referencia sistemática
Categorías de Funciones Cubiertas
La tabla incluye cuatro categorías principales de funciones:
Funciones Básicas: Funciones de potencia (xn), funciones exponenciales (ex, ax), funciones logarítmicas (ln x, loga x), y funciones de raíz cuadrada (√x, 1/√x).
Funciones Trigonométricas: Funciones trigonométricas estándar incluyendo sen x, cos x, tan x, cot x, y sus cuadrados (sen²x, cos²x).
Funciones Trigonométricas Inversas: Antiderivadas que involucran arcoseno, arcocoseno, arcotangente, y expresiones relacionadas como 1/√(1-x²) y 1/(1+x²).
Funciones Avanzadas: Expresiones complejas que involucran radicales (√(x²±a²)), funciones racionales (1/(x²±a²)), y productos como xex, x sen x.
Ejemplos de Uso
1. Hallar ∫x³ dx → Resultado: x⁴/4 + C
2. Hallar ∫sen x dx → Resultado: -cos x + C
3. Hallar ∫1/x dx → Resultado: ln|x| + C
4. Hallar ∫e^x dx → Resultado: e^x + C
5. Hallar ∫1/√(1-x²) dx → Resultado: arcosen x + C
6. Hallar ∫1/(1+x²) dx → Resultado: arctan x + C
7. Hallar ∫√x dx → Resultado: (2√x³)/3 + C
8. Hallar ∫cos²x dx → Resultado: x/2 + sen(2x)/4 + C
9. Hallar ∫ln x dx → Resultado: x ln x - x + C
10. Hallar ∫tan x dx → Resultado: -ln|cos x| + C
Funcionalidad de Búsqueda
El sistema de búsqueda integrado reconoce múltiples formatos de entrada y sinónimos. Puedes buscar usando términos matemáticos (seno, coseno, logaritmo), formas abreviadas (sen, cos, ln), o términos descriptivos (raíz cuadrada, exponencial). La búsqueda resalta instantáneamente las entradas coincidentes en todas las categorías, lo que hace que sea eficiente localizar antiderivadas específicas.
Referencia de Reglas de Integración
La tabla también incluye reglas esenciales de integración como la propiedad de linealidad, la fórmula de integración por partes, el método de sustitución y propiedades especiales para funciones pares e impares. Estas reglas complementan las fórmulas de antiderivadas y proporcionan una referencia completa de integración.