Calcula las tres funciones trigonométricas básicas — seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan) — de un ángulo dado en grados, radianes o gradianes. Incluye también las recíprocas: cosecante (csc = 1/sin), secante (sec = 1/cos) y cotangente (cot = 1/tan), fundamentales en trigonometría, geometría, física, ingeniería y análisis vectorial.
sin(0,5236) = 0,5000
cos(0,5236) = 0,8660
tan(0,5236) = 0,5774
Valores notables
| Ángulo | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° · 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° · π/6 | 1/2 | √3/2 ≈ 0,866 | √3/3 ≈ 0,577 |
| 45° · π/4 | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° · π/3 | √3/2 ≈ 0,866 | 1/2 | √3 ≈ 1,732 |
| 90° · π/2 | 1 | 0 | no definida |
| 180° · π | 0 | −1 | 0 |
| 270° · 3π/2 | −1 | 0 | no definida |
| 360° · 2π | 0 | 1 | 0 |
¿Qué son sin, cos y tan?
Las funciones trigonométricas relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las razones entre sus lados. Seno (sin) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno (cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Tangente (tan) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente, o equivalentemente sin θ / cos θ. Estas razones no dependen del tamaño del triángulo, solo del ángulo — por eso son funciones bien definidas.
Círculo unitario
El círculo unitario (radio 1, centrado en el origen) extiende las definiciones a cualquier ángulo real. Si P = (x, y) es el punto del círculo asociado al ángulo θ medido desde el eje positivo X, entonces cos θ = x y sin θ = y. La tangente es la pendiente de la recta que une el origen con P: tan θ = y/x. Por eso tan no está definida cuando x = 0 (es decir, en 90°, 270° y demás múltiplos impares de π/2).
Cuadrantes y signos
| Cuadrante | Ángulo | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | + | + | + |
| II | 90°–180° | + | − | − |
| III | 180°–270° | − | − | + |
| IV | 270°–360° | − | + | − |
Identidades básicas
Pitagórica: sin²θ + cos²θ = 1
Cociente: tan θ = sin θ / cos θ · cot θ = cos θ / sin θ
Recíprocas: csc θ = 1/sin θ · sec θ = 1/cos θ · cot θ = 1/tan θ
Ángulos complementarios: sin(90°−θ) = cos θ · cos(90°−θ) = sin θ
Paridad: sin(−θ) = −sin θ (impar) · cos(−θ) = cos θ (par) · tan(−θ) = −tan θ (impar)
Ejemplo: triángulo 3-4-5
Un triángulo rectángulo con catetos 3 y 4 tiene hipotenusa 5 (√(3²+4²) = √25 = 5). Si θ es el ángulo opuesto al lado 3:
sin θ = opuesto/hipotenusa = 3/5 = 0,6 → θ = arcsin(0,6) = 36,87°
cos θ = adyacente/hipotenusa = 4/5 = 0,8
tan θ = opuesto/adyacente = 3/4 = 0,75
Verificación: sin²θ + cos²θ = 0,36 + 0,64 = 1
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirven sin, cos y tan en geometría?
Son la herramienta principal para resolver triángulos rectángulos: dados un ángulo y un lado, cualquier otro lado o ángulo se puede obtener con sin, cos o tan. También aparecen en la ley de los senos y la ley de los cosenos para triángulos no rectángulos, y en fórmulas de áreas (A = ½·a·b·sin C). La fase de un ángulo, las rotaciones 2D y las coordenadas polares se definen con cos y sin.
¿Cómo se usan en física y oscilaciones?
El movimiento armónico simple (muelle, péndulo pequeño) se describe como x(t) = A·cos(ωt + φ), donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ la fase inicial. La velocidad y aceleración son derivadas: v(t) = −Aω·sin(ωt+φ) y a(t) = −Aω²·cos(ωt+φ). sin y cos son la base natural para cualquier fenómeno periódico: vibraciones, circuitos de corriente alterna, ondas mecánicas.
¿Cómo se aplican al sonido y a las ondas?
Una onda sonora pura (tono) es una función sinusoidal: p(t) = P·sin(2π·f·t), donde f es la frecuencia en hercios. Las ondas complejas (voz, música) se descomponen en suma de senos y cosenos de distintas frecuencias mediante el análisis de Fourier. Esto permite comprimir audio (MP3), filtrar ruido, reconocer voz y sintetizar instrumentos. Las ondas electromagnéticas, sísmicas y del mar siguen el mismo modelo.
¿Por qué tan(90°) no está definida?
Porque tan θ = sin θ / cos θ, y cos(90°) = 0, lo que da división por cero. Al acercarse a 90° desde la izquierda, tan crece sin límite (+∞); desde la derecha, decrece a −∞. Lo mismo ocurre en 270° y, en general, en (2k+1)·90° para k entero. En esos puntos la función tiene asíntotas verticales y simplemente no existe un valor real.
¿Cómo se usan en navegación y topografía?
Para calcular rumbos y distancias en un mapa se usa trigonometría esférica (tierra curva) o plana (distancias cortas). La latitud, longitud y altura de un punto se relacionan con ángulos mediante sin y cos. En topografía, para medir la altura de un edificio basta conocer la distancia horizontal d y el ángulo de elevación θ desde el suelo: altura = d·tan θ. El GPS, la aviación y la cartografía dependen de estas funciones.
En el círculo unitario, sin θ representa la coordenada y, cos θ la coordenada x, y tan θ = sin/cos es la pendiente de la línea desde el origen al punto del ángulo. Los valores notables son: sin 0° = 0, sin 30° = 0,5, sin 45° = √2/2 ≈ 0,707, sin 60° = √3/2 ≈ 0,866, sin 90° = 1; cos 0° = 1, cos 60° = 0,5; tan 45° = 1. La tangente no está definida en 90°, 270° (donde cos = 0). Los signos cambian según el cuadrante: 1º (+/+/+), 2º (+/−/−), 3º (−/−/+), 4º (−/+/−). En un triángulo rectángulo 3-4-5 con hipotenusa 5, el ángulo opuesto al lado 3 tiene sin = 3/5 = 0,6 (θ = 36,87°) y cos = 4/5 = 0,8. La calculadora muestra el cuadrante, el ángulo en otras unidades y las seis funciones trigonométricas con validación de casos singulares.